Математики Інститут НАНУ

МАТЕМА́ТИКИ Ін­ститут НАНУ — провід­на науково-дослідна установа, що ви­вчає про­блеми математики. Засн. 1934 у Києві під керівництвом Д. Ґраве. 1939–41 та 1944–48 Ін­ститут очолював М. Лаврентьєв, 1948–55 — О. Ішлінський, 1955–58 — Б. Гнєденко, 1958–88 — Ю. Митропольський, 1988–2020 — А. Самойленко, від 2021 — О. Тимоха. 1939 у Львові організовано його філію. На евакуації 1941–43 у м. Уфа (Башкорто­стан, РФ) і 1943–44 у Москві функціонував обʼ­єд­наний Ін­ститут математики та фізики АН УРСР (дир. — Г. Пфейф­фер). 1949 від­діл асимптотич. методів і статистич. механіки, кер. якого був М. Боголюбов, роз­ширено за рахунок організації в ньому обчислюв. групи. Пізніше на її основі створ. лаб. обчислюв. математики та техніки, яку 1957 ви­окремлено в Обчислюв. центр АН УРСР (від 1962 — Кібернетики Ін­ститут НАНУ). 1973 на базі матем. і фіз. від­ділів Фіз.-мех. ін­ституту АН УРСР створ. Львів. філію матем. фізики Ін­ституту математики АН УРСР, яку 1978 пере­творено на Прикладних про­блем механіки і математики Ін­ститут НАНУ. Нині у структурі Ін­ституту — 11 від­ділів (алгебри і топології; динаміч. систем і фрактал. аналізу; диференціал. рівнянь та теорії коливань; комплекс. аналізу і теорії потенціалу; матем. про­блем механіки та теорії керува­н­ня; матем. фізики; неліній. аналізу; обчислюв. математики; теорії випадк. процесів; теорії функцій; функціонал. аналізу) та 4 лаб. (край. задач теорії диференціал. рівнянь; оптимал. методів для обернених задач; топології; фрактал. аналізу). Станом на березень 2018 працюють 154 н. с., з них 62 д-ри (академік НАНУ: Ю. Березанський, В. Королюк, І. Луковський, В. Макаров, Ю. С. Самойленко й О. Шарковський; чл.-кор. НАНУ: О. Бойчук, Ю. Дрозд, А. Кочубей, С. Максименко, А. Нікітін, М. Портенко, Ю. Трохимчук, О. Тимоха) та 76 канд. наук. Період. наук. ви­да­н­ня: «Український математичний журнал» (засн. 1949), журнали «Methods of functional analysis and topology», «Theory of stоchastic processes», «Український математичний вісник» (усі — 1995), «Nonlinear Oscil-lations» (1998), «Збірник праць Ін­ституту математики НАНУ» (2004). Від 1964 Ін­ститут проводить всеукр. наук. конференції молодих дослідників у галузі математики. Організував Укр. матем. кон­греси, присвяч. 200-річчю від дня народж. М. Остро­градського (2001) та 100-річчю від дня народж. М. Боголюбова (2009). Протягом 84-річ. історії в Ін­ституті створ. ві­домі наук. школи, що функціонують донині: неліній. механіки та теорії коливань (М. Боголюбов, Ю. Митропольський, А. Самойленко, О. Бойчук); матем. фізики (М. Боголюбов, Ю. Митропольський, О. Парасюк, Д. Петрина, В. Фущич, Ю. І. Самойленко, А. Нікітін); теорії диференціал. рівнянь та динаміч. систем (М. Кравчук, Ю. Соколов, А. Самойленко, О. Шарковський); функціонал. аналізу (С. Банах, М. Крейн, Ю. Березанський, І. Скрипник, М. Горбачук, Ю. С. Самойленко, А. Кочубей); теорії ймовірностей і матем. статистики (М. Кравчук, Б. Гнєденко, А. Скороход, В. Королюк, М. Портенко); теорії функцій (М. Лаврентьєв, Є. Ремез, М. Корнійчук, В. Дзядик, О. Степанець, П. Тамразов, Ю. Трохимчук); матем. про­блем механіки та обчислюв. математики (М. Лаврентьєв, О. Ішлінський, В. Кошляков, І. Луковсь­кий, В. Макаров, О. Тимоха); алге­бри і топології (Д. Ґраве, М. Кравчук, В. Глушков, С. Черніков, А. Ройтер, Ю. Дрозд, В. Шарко). У між­воєн. період С. Банах сформував окрему галузь математики — функціонал. аналіз. М. Крейн і його учні створили одну з найбільших у світі наук. шкіл у цій галузі. 1934 Є. Ремез об­ґрунтував ітератив. чисел. алгоритм, що до­зволяє для будь-якої неперерв. функції ефективно будувати з як завгодно великою точністю поліном її найкращого рівномір. на­ближе­н­ня. Нині алгоритм Ремеза використовують у теорії апроксимації та обчислюв. математиці для на­ближеного пред­ставле­н­ня функцій многочленами, а також в електроніці під час проектува­н­ня цифр. фільтрів зі скінчен. імпульс. характеристикою. 1932–37 М. Крилов і М. Боголюбов побудували асимптотичну теорію неліній. коливань — принципово новий матем. апарат для дослідж. заг. колив. систем з малим параметром. Вони довели низку тонких теорем, що сприяли ви­вчен­ню питань існува­н­ня та стійкості квазіперіодич. роз­вʼязань. 1960–80 Ю. Митропольський отримав фундам. результати, що стосувалися роз-вʼяза­н­ня важливих про­блем теорії неліній. коливань, якiс. теорiї диференцiал. рiвнянь та матем. фізики. У цей період сформовано новий напрям — нелінійну механіку, основу матем. апарату якої становить асимптотич. метод Крилова–Боголюбова–Митропольського (КБМ-метод). 1965–90 у цьому напрямі А. Самойленко дослідив поведінку інтеграл. кривих на інваріант. тороїдал. і компакт. многовидах та в їх околах, започаткував і роз­винув теорію диференціал. систем з імпульс. дією, чисельно-аналітич. метод Самойленка та поня­т­тя «функції Ґріна–Самойленка». Водночас М. Боголюбов започаткував новий етап у світ. мас-штабі у роз­витку статистич. механіки. Він уперше сформулював фундам. рівня­н­ня, що описують природу речей у Всесвіті (нині ві­домі як ланцюжок рівнянь Боголюбова); об­ґрунтував мікро­скопічну теорію такого квант. явища, як надплин­ність, тобто властивість квант. рідин протікати крізь мікро­скопічні пори без тертя; за­стосував новий матем. при­йом — т. зв. канонічне пере­творе­н­ня Боголюбова. 1955 М. Бо-голюбов і О. Парасюк довели теорему, що ві­діграла ключ. роль у подолан­ні матем. про­блем, повʼязаних з ультрафіолет. роз­біжностями матриці роз­сія­н­ня квант. теорії поля. Подальший роз­виток теорії матриці роз­сія­н­ня повʼязаний з працями Д. Петрини та його учнів О. Ребенка і С. Іванова, які створили евклід. теорію, що дала можливість вийти за рамки теорії збурень. У київ. період М. Лаврентьєв за­пропонував матем. модель кумулятив. снаряда, суть якої полягає в тому, що при тиску бл. 100 тис. атмо­сфер і швидк. руху заряду бл. 10 км/cек. броня стає як ідеал. рідина, тому ефект можна описувати кра­йовою задачею для рівня­н­ня Лапласа. Він також зробив знач. внесок у теорію хвиль, зокрема 1946 довів теорему існува­н­ня від­окремленої хвилі (солітон). Одночасно М. Лаврентьєв разом із С. Крейном досліджував стійкість твердих тіл із рідин. наповне­н­ням, спільно з С. Малашенком — оберта­н­ня тіл, що під­вішені на струні. 1947 до них при­єд­нався О. Ішлінський, який отримав вагомі матем. здобутки в теорії вʼязко-пластич. тіл, теорії релаксацій. коливань та динаміч. стійкості. В результаті створ. теорію інерцій. навігації та роз­вʼязано низку задач керува­н­ня балістич. ракетами. Потім ці дослідж. продовжили В. Кошляков (роз­робив методи компенсації похибок гіро­скопіч. приладів в умовах маневрува­н­ня суден, за­провадив у теорії навігацій. гіро­скопіч. приладів алгоритми на основі параметрів Родріґа–Гамільтона і Келі–Кляйна) та І. Луковський (увів у наук. обіг поня­т­тя «модал. система Майлза–Луковського» та «формули Луковського для гідродинаміч. сил і моментів»). Від 1948 протягом понад 30 р. під керівництвом П. Фільчакова в Ін­ституті роз­робляли метод роз­вʼязува­н­ня задач фільтрації, що ґрунтується на принципі моделюва­н­ня на електро­провід­ник. папері (В. Остапенко, В. Панчишин, О. Тарапон, Б. Нестеренко). 1955–58 Б. Гнєденко роз­робив теорію гранич. роз­поділів для сум незалеж. випадк. величин. Тоді ж А. Скороход створив заг. теорію збіжності випадк. процесів з введе­н­ням кількох нових топологій у про­стір функцій без роз­ривів другого роду (одна з них нині ві­дома як топологія Скорохода). Він також за­пропонував метод доведе­н­ня гранич. теорем, що до­зволив узагальнити принцип інваріантності Донскера на ситуацію, коли гранич. процес не є неперервним. А. Скороход і Й. Гіхман створили та роз­винули теорію стохастич. диференціал. рівнянь (стохастич. аналіз). У 1950-х рр. В. Королюк започаткував ви­вче­н­ня непараметрич. задач матем. статистики та асимптотич. аналізу випадк. блукань. Згодом до цих дослідж. при­єд­налися його учні Д. Гусак, М. Братійчук та ін. В. Королюк, А. Турбін і А. Свіщук одними з перших в Україні належ. чином оцінили теор. і практ. значе­н­ня напів­марков. процесів. 1960 В. Ко-ролюк створив першу мову про­грамува­н­ня, що базується на принципі «адресності» зберіга­н­ня інформації в ЕОМ. У 1970–80-х рр. В. Королюк і Ю. Боровських за­ймалися асимптотич. аналізом ймовірніс. роз­поділів і роз­поділів статистик. Від­тоді осн. наук. діяльність В. Королюка стосується гранич. теорем типу усередне­н­ня, дифузій. і пуас­сон. апроксимації напів­марков. випадк. еволюцій, дифуз. апроксимації стохастич. систем, що описуються процесами з локально незалеж. приростами та з напів­марков. входом, стійкості стохастич. систем у схемах фазового усередне­н­ня та дифуз. апроксимації. Водночас від 2010 він досліджує якісно нові задачі щодо великих від­хилень для різних типів процесів у схемі малої дифузії, а спільно з І. В. Самойленком — у схемі пуас­сон. апроксимації. 1956–63 В. Дзядик створив методи роз­вʼязуван-ня осн. задач на­ближе­н­ня на широкому класі континуумів функцій комплекс. змін­ної і одержав результати в таких самих обʼємах і завершеності, як і ті, що були раніше ві­домі в періодич. випадку та на від­різку дійс. осі. Ці результати встановлюють кон­структивну характеристику функцій з класів Гельдера та їхніх узагальнень і роз­кривають звʼязок між на­ближе­н­ням періодич. функцій тригонометрич. поліномами та на­ближе­н­ням неперіодич. функцій алгебрич. поліномами. У 1980-х рр. В. Дзядик роз­робив апроксимаційні і апроксимаційно ітеративні методи, що за­стосовують для побудови многочлен. на­ближень роз­вʼязків задач як для ліній., так і для неліній. диференціал. та інтеграл. рівнянь. 2006–08 на основі а-ме-тоду Дзядика компанія «DigiArea Group Ltd» роз­робила спец. додатки «LdeApprox» до про­грам. обчислюв. пакетів «Mathematica» та «Maple» для чисел. і символіч. поліноміал. на­ближень функцій і знаходже­н­ня на­ближених роз-вʼязків ліній. диференціал. рівнянь. На­прикінці 1990-х рр. В. Ма-каров і І. Гаврилюк роз­робили екс­поненціально збіжні методи для диференціал. рівнянь з необмеженими оператор. коефіцієнтами у банах. просторі. 1956–2016 Ю. Березанський створив теорію просторів із позитив. і негатив. нормами й отримав низку її за­стосувань до задач аналізу та матем. фізики. Роз­роблений ним метод, що базується на роз­кладах за узагальненими влас. функціями самоспряжених операторів, до­зволив роз­вʼязати низку про­блем теорії гранич. задач для диференціал. рівнянь із частин. похідними, зокрема й дослідити їхні роз­вʼязки, включаючи гладкість аж до межі області, для еліптич. рівнянь з правими частинами в рівнян­ні та гранич. умовах, що є узагальненими функціями. 1957 в рамках дослідж., що проводили в Ін­ституті в галузі ракет. технологій, Ю. Березанський отримав критерій стабілізації ліній. неперерв. стаціонар. динаміч. системи на 3 р. раніше за амер. фахівця у галузі теорії упр. Р. Калмана. Через засекреченість дослідж. результат Ю. Березанського не був оприлюднений, тому нині ві­домий у світі як критерій Калмана. М. Горбачук (учень Ю. Березанського) роз­вʼязав давню про­блему опису мовою гранич. значень деяких класів роз­ширень мін. оператора, породженого операторно-диференціал. виразом у гільберт. просторі, та дослідж. їхніх спектрал. властивостей. Ці результати стосуються операторів із частин. похідними в циліндрич. областях. У 1960–80-х рр. М. Корнійчук роз­робив нові методи роз­вʼязува­н­ня екс­тремал. задач, що до­зволили отримати низку остаточ. результатів на­ближе­н­ня класів функцій поліномами та сплайнами. За допомогою т. зв. сігма-пере­становок він створив принципово новий метод роз­вʼязува­н­ня екс­тремал. задач теорії на­ближе­н­ня, що до­зволило зна­йти оцінки багатьох поперечників. Також М. Корнійчук отри-мав точні оцінки найкращого на­ближе­н­ня сплайнами на різних класах функцій. У 1960-х рр. Ю. Трохимчук роз­винув теорію множин моноген­ності комплекс. функцій, що до­зволило йому одержати нові критерії голоморфності. 1990–2010 він встановив також принципово нові критерії усувності особливостей аналітич. функцій, що базуються на теорії локал. ступеня довіл. нульвимір. неперерв. від­ображень, а також на теоремах про продовже­н­ня внутр. від­ображень. 1964 О. Шарковський від­крив нове впорядкува­н­ня натурал. чисел, що ві­ді­грає фундам. роль у неліній. динаміці. Т. зв. порядок Шарковського є важливим для ро­зумі­н­ня того, як системи з про­стою поведінкою можуть еволюціонувати до систем зі складною. 2005 О. Шарковський створив концепцію ідеал. турбулентності — матем. явище в детермінов. системах, що моделює най­складніші просторово-часові властивості реал. турбулентності, зокрема й каскад. процес утворе­н­ня когерент. структур спа-даючих мас­штабів i автостохастичності. 1972–2000 А. Ройтер, Ю. Дрозд, Л. Назарова, В. Сергійчук і В. Бондаренко створили принципово нову теорію, що ґрунтується на по­єд­нан­ні методів класич. ліній. алгебри із сучас. технікою теорії категорій і гомологіч. алгебри. Роз­винена теорія та її за­стосува­н­ня при­звели до знач. пере­будови усієї теорії зображень алгебр і дала змогу довести гіпотези Брауера–Трол­ла, дихотомію «ручні–дикі», критерій скінчен­ності зображувал. типу тощо. Її за­стосовували до сучас. про­блем алгебрич. геометрії, теорії особливостей, алгебрич. топології, класифікації вектор. роз­шарувань та стабіл. гомотопіч. класів поліедрів. 1975 П. Тамразов роз­винув методи дослідж. скінчен­но-різницевих властивостей функцій у комплекс. площині та роз­вʼязав низку контурно-тiлес. про­блем і про­блем теорії апроксимації функцій на комплекс. множинах. Ви­вчивши методи геом. теорії функцій (зокрема й метод екс­тремал. довжин) та методи теорії потенціалу (зокрема й метод змішува­н­ня зарядів), 1980–2010 він роз­вʼязав серiю екс­тремал. задач (зокрема й асоцi­йованих із мультипол. квадратич. диферен-цiалами) для конформ. вiдображень та про ємності конденсаторів і батарей конденсаторів. 1975–2014 В. Шарко отримав сут­тєво кращі оцінки мін. числа крит. точок функцій Морса та числа за­мкнутих орбіт вектор. полів на многовидах і в багатьох ситуаціях здобув їхні точні значе­н­ня. Він створив школу топології в Києві, започаткувавши такі напрями дослідж., як тополог. класифікація функцій, вектор. полів, диференціал. форм і дифеоморфізмів на многовидах малих роз­мірностей, а також ви­вче­н­ня гомотопіч. типів різних просторів від­ображень між многовидами. Гомотопічні типи функціонал. просторів дають дис­кретні інваріанти, що часто мають геом. і фіз. інтер­претацію та можуть бути викори­стані й у теор. фізиці. 1983 О. Степанець за­пропонував новий під­хід до класифікації періодич. функцій, в основу якого покладено роз­би­т­тя функцій на класи залежно від швидкості спа­да­н­ня до нуля їхніх коефіцієнтів Фурʼє. У подальші роки О. Степанець та його учні роз­робили методи теорії апроксимації, що до­зволили для за­проваджених класів отримати роз­вʼязки низки важливих екс­тремал. задач, які до цього були ві­домі лише для класів Вейля–Надя. 1985–95 В. Фущич створив основи сучас. груп. аналізу диференціал. рівнянь. Він роз­винув новий під­хід до дослідж. симетрії диференціал. рівнянь, що до­зволило зна­йти нові інтеграли руху та побудувати точні роз­вʼязки багатьох фундам. рівнянь сучас. матем. фізики. Дос-лiджуючи 2000–08 матем. моделі планетар. магнетизму та динамiки обертал. руху гравiтуючої речовини з вiльною межею, Ю. І. Самойленко встановив як необхiднi, так i до­статнi умови генерацiї магнiт. поля у рiдких електро­провiд. ядрах планет, що за­знають приплив. гальмува­н­ня влас. обертал. руху. Спiвпадi­н­ня теор. даних моделюва­н­ня з фактич. даними спо­стережень для всiх планет Соняч. системи цiлком пiдтвердило припливну гiпотезу енерго­приводу гiгромагнiт. планет. динамо. При цьому Ю. І. Самойленко пояснив причини утворе­н­ня екваторiал. гiрського хребта на супутнику Сатурна Япет, виявленого на фотознiмках, що були зроблені косміч. зондом Кас­сiнi на поч. 2005.

Літ.: Митропольский Ю. А., Строк В. В. Ин­ститут математики АН УССР. К., 1988; Нариси з історії математики і математичного природо­знавства // Пр. Ін­ституту математики НАНУ. Математика та її за­стосува­н­ня. 2001. Т. 39; Самойленко А. М., Строк В. В., Сукретний В. І. Хроніка-2005. Сторінки з історії Ін­ституту математики НАН України. К., 2005; Самойленко А. М., Луковський І. О., Коренівський Д. Г. Роз­виток досліджень математичних про­блем механіки в Ін­ституті математики НАН України (1934 — перше десятилі­т­тя ХХІ ст.). К., 2012; До історії Ін­ституту математики НАН України (Історичні нариси) // Зб. пр. Ін­ституту математики НАНУ. 2016. Т. 13, № 3.

О. В. Антонюк

Завантажити статтю